在区间 $[0,a]$ 的自由粒子的势函数为：$$V(x)=\begin{cases}0, \quad & 0 \le x \le a \\\infty, \quad & \text{otherwise}\end{cases}$$当 $x \in [0,a]$ 时，有 $V=0$，定态薛定谔方程为：$$-\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2\psi=E\psi$$即：$$\nabla^2\psi=-k^2\psi, \quad k=\frac{\sqrt{2mE}}{\hbar}$$其解为：$$\psi(x)=A\sin kx+B\cos kx$$由 $\psi(0)=\psi(a)=0$，得：$$\begin{aligned}& \psi(0)=B=0 \\& \psi(a)=A\sin ka+B\cos ka=0\end{aligned}$$即：$$ka=n\pi, \quad n\in\mathbb{Z}$$有意义且可区分的解为：$$k_ n=\frac{n\pi}{a}, \quad n \in \mathbb{N}^*$$能量 $E$ 的取值为：$$E_ n=\frac{k_ n^2\hbar^2}{2m}=\frac{n^2\pi^2\hbar^2}{2ma^2}, \quad n \in \mathbb{N}^*$$将 $\psi$ 归一化得：$$\begin{aligned}\frac{1}{|A|^2}&=\int_ {0}^{a}\sin^2 \frac{n\pi x}{a} dx\\&=\frac{1}{2}\int_ {0}^{a}\left(1-\cos \frac{2n\pi x}{a}\right) dx, \quad t=\frac{2n \pi x}{a} \\&=\frac{a}{2}-\frac{a}{4n\pi}\underbrace{\int_ {0}^{2n\pi}\cos t dt}_ {0} \\&=\frac{a}{2}\end{aligned}$$所以：$$A=\sqrt{\frac{2}{a}}$$得到阱内的解：$$\psi_ n(x)=\sqrt{\frac{2}{a}}\sin \frac{n\pi x}{a}$$可以看到 ${\psi_ n}$ 是归一正交的，即：$$\int_ {0}^{a}\psi_ m^* \psi_ ndx=\delta_ {mn}$$对于任意实函数 $f(x)$，其在 $[0,a]$ 上的展开为：$$\begin{aligned}& f(x)=\sqrt{\frac{2}{a}}\sum_ {n=1}^{\infty}c_ n\sin \frac{n\pi x}{a} \\& c_ n=\int_ {0}^{a}\psi_ n^* fdx\end{aligned}$$实际上就是：$$|f\rangle=\sum_ {n=1}^{\infty}|\psi_ n\rangle\langle\psi_ n|f\rangle$$一维无限深方势阱的定态为：$$\Psi_ n(x,t)=\sqrt{\frac{2}{a}}\sin \frac{n\pi x}{a}e^{-in^2\pi^2 \hbar t/(2ma^2)}$$总能量的期望为：$$\langle H \rangle=\sum_ {n=1}^{\infty} |c_ n|^2E_ n$$
量子物理笔记 - 4：一维无限深方势阱
